定积分的核心思想可以概括为四步：分割,近似,求和,取极限。下面的动画先用少量宽矩形近似曲线下方区域，再逐步增加矩形数量。矩形越窄，边缘留下的空隙通常越小，面积和就越接近一个稳定值。
从矩形面积到黎曼和
把区间 [a,b] 分成 n 个小区间，每段宽度记为 Δx。在第 i 段选一个样本点 xᵢ，用高 f(xᵢ),宽 Δx 的矩形近似这一小段的累积量。把所有矩形相加，得到黎曼和：
Sₙ = Σ f(xᵢ*)Δx
当分割越来越细,最大子区间宽度趋近 0，并且函数在该区间可积时，黎曼和的极限就是定积分：
∫ₐᵇ f(x)dx = lim Sₙ
动画从几个矩形增加到上千个矩形，只是在有限屏幕上演示“趋近”的过程；数学中的极限并不是让计算机真的画出无穷多个矩形。
定积分一定是几何面积吗
当 f(x) 在区间内不小于 0 时，定积分可以解释为曲线与 x 轴之间的面积。若函数有一部分位于 x 轴下方，那一部分在积分中记为负值，所以结果是“上方面积减去下方面积”的净值。若题目要求普通几何面积，需要把不同符号区间拆开并取绝对值后再相加。
一个最小示例
对 f(x)=x² 在 [0,1] 上积分，矩形不断细分后，面积和趋近 1/3，因此 ∫₀¹x²dx=1/3。改变取左端点,右端点或中点会影响有限 n 时的误差，但只要满足相应可积条件，分割无限细时都会趋向同一个定积分。
观看动画时重点观察两件事：矩形宽度怎样缩小，以及面积和怎样稳定。这样就能把“无穷小切片”从口号变成可检验的极限过程。