完全平方公式几何推导动画：(a+b)² 为什么有 2ab

画一个边长为$a+b$a+b的大正方形，把它沿水平和垂直方向分别分成长度为$a$a和$b$b的两段，整个正方形被分成四块。其中一块是边长$a$a的小正方形（面积$a^2$a2），一块是边长$b$b的小正方形（面积$b^2$b2），另外两块都是长$a$a宽$b$b的长方形（每个面积$ab$ab，合计$2ab$2ab），四块面积相加就是$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2。‌‌‌

完全平方公式不是需要死记的规则，它可以直接从一个正方形的面积看出来。设 a,b 都是非负长度，画一个边长为 a+b 的大正方形，它的总面积是：(a+b)²

把大正方形分成四块

分别在横向和纵向按 a,b 分割，大正方形会得到四个区域：

1. 一个边长为 a 的正方形，面积为 a²；
2. 一个边长为 b 的正方形，面积为 b²；
3. 两个长为 a,宽为 b 的长方形，每个面积都是 ab。

四块没有重叠，也没有空隙，所以总面积等于各块面积之和：

(a+b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

公式中的 2ab 正是两块 a×b 长方形的面积之和。最常见的错误是写成 a²+b²，相当于把中间两块长方形完全漏掉。

用数字检查一次

取 a=3,b=2，大正方形边长为 5，总面积是 25。右侧四块面积分别为 9,6,6,4，相加同样是 25：

5² = 3² + 2×3×2 + 2² = 25

公式适用范围

几何图把 a,b 当作长度，因此要求非负；但 (a+b)²=a²+2ab+b² 作为代数恒等式，对任意实数 a,b 都成立。类似地，(a-b)²=a²-2ab+b² 可以通过代数展开理解；若用几何图解释，需要把“切去的面积”和剩余区域说清楚，不能把负数直接当作边长。

观看动画时，请重点寻找两块 ab 长方形，这正是记住中间项系数 2 的最好方法。